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QCM sur les suites numériques de M@ths en L1gne

Université Joseph-Fourier $-$ DLST $-$ MAT123

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Nom	Classe
?	?

Le nom et la classe sont facultatifs.

2.1. Indiquez si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses.

	1. Si x est rationnel, la suite des décimales de x est périodique.

	2. Si x est décimal, la suite des décimales de x est constante à partir d’un certain rang.

	3. Toute suite récurrente qui ne prend qu’un nombre fini de valeurs distinctes, est périodique à partir d’un certain rang.

	4. Si F est une application croissante, la suite $(F^{o n} (u_{0}))$ est croissante.

	5. Si F est une application croissante, la suite $(F (n))$ est croissante.

	6. Si P est une application polynôme, la suite (P(n)) est monotone à partir d’un certain rang.

	7. La suite $(e^{\frac{n i π}{4}})$ est périodique de période 4.

	8. La suite $({(- 1)}^{k})$ est une suite extraite de la suite $(e^{\frac{n i π}{4}})$

	9. On peut extraire de la suite $(e^{\frac{n i π}{4}})$ une sous-suite constante.

2.2. Indiquez si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses.

	1. Toute suite croissante et minorée tend vers $+ \infty$

	2. Toute suite décroissante et non minorée tend vers $- \infty$

	3. Toute suite croissante et bornée converge.

	4. Une suite à termes positifs qui converge vers 0 est décroissante à partir d’un certain rang.

	5. Si la suite des décimales de x converge, alors x est un nombre rationnel.

	6. Si $r \leq 1$ alors $(\cos (n) r^{n})$ tend vers 0.

	6. Si $r < 1$ alors $(\cos (n) r^{n})$ tend vers 0.

2.3. Soient $(u_{n})$ une suite de réels. Indiquez si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses.

	1. Si $(u_{n})$ tend vers 0, alors pour tout n, $u_{n} < 1$

	2. Si $(u_{n})$ tend vers 0, alors $u_{n} < 1$ pour $n$ assez grand.

	3. Si $(u_{n})$ tend vers 2, alors $u_{n} > 1$ pour $n$ assez grand.

	4. Si $(u_{n})$ tend vers 0 alors $(\cos (n) u_{n})$ tend vers 0.

	5. Si $(u_{n})$ tend vers $1$ alors $(\cos (n) u_{n})$ tend vers 1.

	6. Si $(u_{n})$ tend vers 1 alors $(\cos (n) u_{n})$ est bornée.

	7. Si la suite $(\| u_{n} \|)$ converge vers $l$ alors la suite $(u_{n})$ converge vers $l$ ou vers $- l$

	8. Si la suite $(u_{n})$ converge vers $l$ alors la suite $(\| u_{n} \|)$ converge vers $\| l \|$

	9. Si la suite $(u_{n})$ converge vers $l$ alors la suite $(u_{n^{2}})$ converge vers $l$

	10. Si la suite $(u_{n})$ converge vers 1, alors la suite $(u_{n}^{2})$ converge vers 1.

	11. Si la suite $(u_{n})$ converge vers 1, alors la suite $(u_{n}^{n})$ converge vers 1.

2.4. Soient $(u_{n})$ , $(v_{n})$ et $(w_{n})$ trois suites de réels. Indiquez si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses.

	1. Si pour tout $n$ , $u_{n} \geq \sqrt{n}$ alors $(u_{n})$ tend vers $+ \infty$

	2. Si pour tout $n$ , $u_{n} \geq - \sqrt{n}$ alors $(u_{n})$ tend vers $- \infty$

	3. Si à partir d’un certain rang $u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}$ et si les suites $(u_{n})$ et $(w_{n})$ tendent vers 1, alors $(v_{n})$ tend vers 1.

	4. Si à partir d’un certain rang $u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}$ et si les suites $(u_{n})$ et $(w_{n})$ convergent, alors $(v_{n})$ converge.

	5. Si à partir d’un certain rang $u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}$ et si les suites $(u_{n})$ et $(w_{n})$ convergent, alors $(v_{n})$ est bornée.

	6. Si $u_{n} = o (v_{n})$ alors $u_{n} = O (v_{n})$

	7. Si $u_{n} = O (v_{n})$ et $v_{n} = O (u_{n})$ alors $u_{n}$ ~ $v_{n}$

	8. Si $u_{n}$ ~ $v_{n}$ alors $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ est bornée.

	9. Si $u_{n}$ ~ $v_{n}$ alors $u_{n} - v_{n}$ tend vers $0$

	10. Si $u_{n}$ ~ $v_{n}$ alors $u_{n} - v_{n} = o (v_{n})$

2.5. Soit $(u_{n})$ une suite de réels croissante et non majorée. Indiquez si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses.

	1. La suite $(u_{n})$ est positive à partir d’un certain rang.

	2. La suite $(u_{n}^{2})$ est croissante.

	3. La suite $(\sqrt{\| u_{n} \|})$ tend vers $+ \infty$

	4. La suite $(e^{- u_{n}})$ tend vers $0$

	5. La suite $(\frac{1}{u_{n}})$ est décroissante.

2.6. Indiquez si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses.

	1. $n 2^{n} = O (2^{n})$

	2. $2^{n + 1} = O (2^{n})$

	3. $2^{n^{2} + n} = O (2^{n^{2}})$

	4. $n 2^{n} = o (3^{n})$

	5. $\frac{n 2^{n}}{\sqrt{n + 1}} = O (2^{n})$

	6. $\frac{n 2^{n}}{\sqrt{n^{2} + 1}}$ ~ $2^{n}$

	7. $\frac{3^{n}}{n} = O (2^{n})$

	8. $\frac{2^{n}}{n} = o (2^{n})$

	9. $n 2^{- n} = O (2^{- n})$

	10. $n 3^{- n} = o (2^{- n})$

	11. $\frac{n 2^{- n}}{\sqrt{n + 1}} = O (2^{- n})$

	12. $\frac{n 2^{- n}}{\sqrt{n^{2} + 1}}$ ~ $2^{- n}$

	13. $\frac{3^{- n}}{n} = O (2^{- n})$

	14. $\frac{2^{- n}}{n} = o (2^{- n})$