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QCM sur les structures algébriques de M@ths en L1gne

Université Joseph-Fourier $-$ DLST $-$ MAT123

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Nom	Classe
?	?

Le nom et la classe sont facultatifs.

1.1 La notation $(a; b)$ représente le couple constituté des éléments a et b.

Soit $E = \{0; 1; 2\}$ Indiquer si les graphes suivants définissent une relation d’équivalence sur E :

	1. $Γ = \{(0; 0); (0; 1); (1; 0); (1; 1)\}$

	2. $Γ = \{(0; 0); (0; 1); (1; 0); (1; 1); (2; 2)\}$

	3. $Γ = \{(0; 0); (0; 1); (1; 0); (1; 1); (1; 2); (2; 2)\}$

	4. $Γ = \{(0; 0); (0; 1); (1; 0); (1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2)\}$

	5. $Γ = \{(0; 0); (0; 1); (0; 2); (1; 0); (1; 1); (1; 2); (2; 0); (2; 1); (2; 2)\}$

1.2. Soit $E = \{0; 1; 2\}$ Indiquer si les graphes suivants définissent une relation d’ordre sur E :

	1. $Γ = \{(0; 0); (0; 1); (1; 1); (2; 2)\}$

	2. $Γ = \{(0; 0); (0; 1); (1; 0); (1; 1); (2; 2)\}$

	3. $Γ = \{(0; 0); (0; 1); (0; 2); (1; 1); (2; 2)\}$

	4. $Γ = \{(0; 0); (0; 1); (1; 1); (1; 2); (2; 2)\}$

	5. $Γ = \{(0; 0); (0; 1); (0; 2); (1; 1); (1; 2); (2; 2)\}$

1.3. Soient $E$ un ensemble fini non vide et $x$ un élément fixé de E. Indiquez si les relations Δ définies ci-dessous sont des relations d’équivalence sur $P (E)$ :

	1. $\forall A,B \in P (E), A Δ B \Leftrightarrow A = B$

	2. $\forall A,B \in P (E), A Δ B \Leftrightarrow A \subset B$

	3. $\forall A,B \in P (E), A Δ B \Leftrightarrow (A \cap B = \emptyset)$

	4. $\forall A,B \in P (E), A Δ B \Leftrightarrow (A \cap B = \emptyset \lor (A \cup B \neq \emptyset))$

	5. $\forall A,B \in P (E), A Δ B \Leftrightarrow (x \in A \cup B)$

	6. $\forall A,B \in P (E), A Δ B \Leftrightarrow (x \in A \cap B) \lor (x \in \bar{A} \cap \bar{B})$ $\bar{A}$ et $\bar{B}$ étant les complémentaires de A et B

1.4. Soient $E$ un ensemble fini non vide et $x$ un élément fixé de E. Indiquez si les relations Δ définies ci-dessous sont des relations d’ordre sur $P (E)$ :

	1. $\forall A,B \in P (E), A Δ B \Leftrightarrow A = B$

	2. $\forall A,B \in P (E), A Δ B \Leftrightarrow A \subset B$

	3. $\forall A,B \in P (E), A Δ B \Leftrightarrow (x \in A \cap \bar{B})$ $\bar{B}$ étant le complémentaire de B

	4. $\forall A,B \in P (E), A Δ B \Leftrightarrow (x \in A \cup \bar{B})$

	5. $\forall A,B \in P (E), A Δ B \Leftrightarrow ((A = B) \lor (x \in A \cap \bar{B}))$

1.5. Indiquez si les relations Δ définies ci-dessous sont des relations d’ordre sur $ℝ$ :

	1. $\forall x,y \in ℝ, x Δ y \Leftrightarrow x < y$

	2. $\forall x,y \in ℝ, x Δ y \Leftrightarrow e^{x} \leq e^{y}$

	3. $\forall x,y \in ℝ, x Δ y \Leftrightarrow \| x \| \leq \| y \|$

	4. $\forall x,y \in ℝ, x Δ y \Leftrightarrow (x - y) \in ℕ$

	5. $\forall x,y \in ℝ, x Δ y \Leftrightarrow (x - y) \in ℤ$

1.6. Indiquez parmi les relations Δ définies ci-dessous celles sont des relations d’équivalence sur $ℂ$ :

	1. $z Δ z' \Leftrightarrow \| z \| = \| z' \|$

	2. $z Δ z' \Leftrightarrow \| \frac{z}{z'} \| = 1$

	3. $z Δ z' \Leftrightarrow e^{z} = e^{z'}$

	4. $z Δ z' \Leftrightarrow \| z - z' \| = 1$

	5. $z Δ z' \Leftrightarrow \| e^{z - z'} \| = 1$

1.7. Indiquez si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses.

	1. La soustraction est une loi de composition interne dans $ℤ$

	2. 0 est élément neutre de la soustraction dans $ℤ$

	3. La soustraction dans $ℤ$ est associative.

	4. 0 est élément neutre pour l’addition dans $ℕ$

	5. L’addition est associative dans $ℕ$

1.8. Indiquez, si les ensembles suivants, munis de l’addition des réels, sont des groupes :

	1. $\{\frac{a}{10^{n}}; a \in ℤ et n \in ℕ\}$

	2. $\{\frac{a}{2^{n}}; a \in ℤ et n \in ℕ\}$

	3. $\{a \sqrt{2}; a \in ℤ\}$

	4. $\{a \sqrt{2}; a \in ℕ\}$

	5. $\{a \sqrt{2} + b \sqrt{3}; a,b \in ℤ\}$

	6. $\{a \sqrt{2} + b \sqrt{3}; a \in ℤ et n \in ℕ\}$

1.9. Indiquez si les ensembles suivants, munis de la multiplication des réels, sont des groupes :

	1. $\{1; ? - 1\}$

	2. $\{1; ? - 1; \frac{1}{2}; 2\}$

	3. $\{2^{n}; n \in ℤ\}$

	4. $\{a 2^{n}; (a = 1 \lor a = - 1) \land n \in ℤ\}$

	5. $\{a \sqrt{2}; a \in ℚ\}$

	6. $\{a + b \sqrt{2}; a,b \in ℚ\}$

1.10. Indiquez si les ensembles suivants, munis de l'addition et de la multiplication des réels, sont des anneaux :

	1. $\{b \sqrt{2}; b \in ℚ\}$

	2. $\{a + b \sqrt{2}; a,b \in ℚ\}$

	3. $\{a + b π; a,b \in ℚ\}$

	4. $\{a + b \sqrt{4}; a,b \in ℚ\}$

	5. $\{a + b \sqrt[3]{2}; a,b \in ℚ\}$

	6. $\{a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3}; a,b,c \in ℚ\}$

1.11. Indiquez si les ensembles suivants, munis de l'addition et de la multiplication des réels, sont des corps :

	1. $\{b \sqrt{2}; b \in ℚ\}$

	2. $\{a + b \sqrt{2}; a,b \in ℚ\}$

	3. $\{a + b π; a,b \in ℚ\}$

	4. $\{a + b \sqrt{4}; a,b \in ℚ\}$

	5. $\{a + b \sqrt[3]{2}; a,b \in ℚ\}$

	6. $\{a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3}; a,b,c \in ℚ\}$