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QCM sur les nombres réels de M@ths en L1gne

Université Joseph-Fourier $-$ DLST $-$ MAT123

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Nom	Classe
?	?

Le nom et la classe sont facultatifs.

1.1. Soit A une partie non vide de $ℝ$ . Indiquez si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses.

	1. A possède une borne supérieure, finie ou infinie.

	2. Si A est minorée, alors A possède une borne inférieure finie.

	3. Si $x \leq \sup (A)$ alors $x \in A$

	4. Si A contient au moins 2 réels distincts, alors A contient un rationnel.

	5. Si A est infinie, alors A contient une infinité d’irrationnels.

	6. Si A contient un intervalle de $ℝ$ contenant lui-même deux points distincts, alors A contient une infinité d’irrationnels.

	7. Si A contient un intervalle de $ℝ$ alors A contient une infinité de rationnels.

1.2. Soit A une partie non vide de $ℝ$ . On note $| A | = \{| x |; x \in A\}$ . Indiquez si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses.

	1. Si $A$ est majorée, alors $\| A \|$ possède une borne supérieure finie.

	2. $0$ est un minorant de $\| A \|$

	3. $\| A \|$ possède toujours une borne inférieure finie.

	4. $\| A \|$ possède toujours une borne supérieure finie.

	5. $A$ est bornée si et seulement si $\| A \|$ est majorée.

	6. Si $A$ est un intervalle, alors $\| A \|$ est un intervalle.

	7. Si $\| A \|$ est un intervalle, alors $A$ est un intervalle.

	8. Si $A$ est un intervalle ouvert, alors $\| A \|$ est un intervalle ouvert.

	9. Si $A$ est un intervalle fermé, alors $\| A \|$ est un intervalle fermé.

1.3. Soit $a$ un réel quelconque. Indiquez si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses.

	1. Si $\forall ε > 0, a < ε$ alors $a < 0$

	2. Si $\forall ε > 0, a > 1 - ε$ alors $a \geq 1$

	3. Si $\forall ε > 0, a > 1 - ε^{2}$ alors $\forall ε > 0, a > 1 - 2 ε$

	4. Si $\forall ε > 0, a > 1 - ε$ alors $\forall ε \geq 0, a > 1 - ε^{2}$

	5. Si $\forall n \in ℕ^{*}, a > \frac{1}{\sqrt{n}}$ alors $a > 1$

	6. Si $\forall n \in ℕ^{*}, a < \frac{1}{\sqrt{n}}$ alors $a < 0$

	7. Si $\forall n \in ℕ^{*}, a > 1 - \frac{1}{\sqrt{n}}$ alors $\forall ε > 0, a > 1 - ε$

1.4. Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques. Indiquez si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses.

	1. Si $a + b$ est rationnel, alors soit $a$ est rationnel soit $b$ est rationnel.

	2. Si $a + b$ est irrationnel, alors soit $a$ est irrationnel soit $b$ est irrationnel.

	3. Si $a$ est rationnel, alors sa partie décimale est rationnelle.

	4. Si $a$ est irrationnel, alors la partie décimale de $a + b$ est irrationnelle.

	5. Si la partie décimale de $a$ est rationnelle, alors $a$ est rationnel.

1.5. Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques. Indiquez si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses.

	1. $\| a b \| = \| a \| \| b \|$

	2. $\| a \| - \| b \| \leq \| a - b \|$

	3. $\| a - b \| \leq \max \{\| a \|; \| b \|\}$

	4. $\| a - b \| = \| a - \frac{a + b}{2} \| + \| \frac{a + b}{2} - b \|$

	5. $\| a - b \| = \| a - (a + b) \| + \| (a + b) - b \|$

	6. Si $\| a - b \| < \| a \|$ alors $\| a b \| = a b$

	7. $E (a + b) = E (a) + E (b)$ E étant la partie entière

	8. $E (a + b) \geq E (a) + E (b)$

	9. $E (a + b) \leq E (a) + E (b) + 1$

	10. $D (a + b) = D (a) + D (b)$ D étant la partie décimale